تمارين في الجبر الخطي

Exercices - Espaces vectoriels de dimension finie : enonce
Dimension finie et sous-espaces
Exercice 1 - Pour bien demarrer...
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de R5 de dimension 3. Montrer que F / G = {0}.

Exercice 2 - Autour du theoreme des quatre dimensions
Soit E un espace vectoriel de dimension nie, F et G deux sevs de E. Montrer que deux
quelconques des trois propriètes suivantes entranent la troisieme :
1. F \ G = {0} ;
2. F + G = E ;
3. dim(F) + dim(G) = dim(E).
Exercice 3 - Suites arithmetiques
Demontrer que l'ensemble des suites arithmetiques complexes est un espace vectoriel. Quelle
est sa dimension ?
Exercice 4 - Une caracterisation de la dimension
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1 et soit S l'ensemble des sous-espaces
vectoriels de E. Soit d : S ! N veriant les proprietes suivantes :
(i) Si F, F0 2 S sont tels que F \ F0 = {0}, alors d(F + F0) = d(F) + d(F0) ;
(ii) d(E) = n.
1. Soient F,G 2 S avec dim(F) = dim(G) = 1. Demontrer que d(F) = d(G).
2. En deduire que, pour tout F 2 S, d(F) = dim(F).
Exercice 5 - Supplementaire commun
Soient E un espace vectoriel de dimension nie n, et F, G deux sous-espaces vectoriels de
E de meme dimension p < n. Montrer que F et G ont un supplementaire commun, c'est-a-dire
qu'il existe un sous-espace H de E tel que F H = G H = E.
Dimension finie et application lineaires
Exercice 6 - Noyau ?
Soit E = R4 et F = R2. On considere H = {(x, y, z, t) 2 R4; x = y = z = t}. Existe-t-il des
applications lineaires de E dans F dont le noyau est H ?
Exercice 7 - Du local au global...
Soit E un espace vectoriel de dimension nie et f 2 L(E). On suppose que, pour tout x 2 E,
il existe un entier nx 2 N tel que fnx(x) = 0. Montrer qu'il existe un entier n tel que fn = 0.
Exercice 8 - Base donnee par un endomorphisme nilpotent
Soit E un espace vectoriel de dimension n, f 2 L(E) un operateur tel que fn = 0 et
fn−1 6= 0. Soit x 2 E tel que fn−1(x) 6= 0. Montrer que la famille (x, f(x), . . . , fn−1(x)) est une
base de E.
Exercice 9 - Tres classique...
Soit E un espace vectoriel et f 2 L(E).

Exercices- Espaces vectoriels de dimension finie : enonce
1. Montrer que
ker(f) = ker(f2) () Imf \ ker(f) = {0}.
2. On suppose que E est de dimension nie. Montrer que
ker(f) = ker(f2) () Imf ker(f) = E () Im(f) = Im(f2).
Exercice 10 - Noyau egal a l'image
Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Montrer qu'il existe f 2 L(E) tel que ker(f) =
Im(f) si et seulement si E est de dimension paire.
Exercice 11 - Noyau et image choisis
Soit E un espace vectoriel de dimension n, F un sous-espace vectoriel de E de dimension p,
G un sous-espace vectoriel de E de dimension q. Donner une condition necessaire et susante
pour que dim(ker(f)) = p et dim(Im(f)) = q.
Exercice 12 - Un pas vers les noyaux iteres
Soit E un espace vectoriel de dimension nie et f 2 L(E). Montrer que dim(ker(f2))
2 dim(ker(f)).
Exercice 13 - Composee et somme -
Soient u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel E de dimension nie n.
1. Montrer que
|rg(u) − rg(v)| rg(u + v) rg(u) + rg(v).
2. On suppose que u v = 0 et que u + v est inversible. Prouver que rg(u) + rg(v) = n.
Exercice 14 - Quand le rang est additif
Soient E un espace vectoriel de dimension nie et f, g 2 L(E). Montrer que
rg(f + g) = rg(f) + rg(g) ()
(
Im(f) \ Im(g) = {0}
ker(f) + ker(g) = E
Exercice 15 - Suite exacte
Soient E0, . . . ,En des espaces vectoriels de dimensions nies respectivement egales a a0, . . . , an.
On suppose qu'il existe n applications lineaires f0, . . . , fn−1 telles que, pour chaque k 2 0, . . . , n − 1,
fk est une application lineaire et
(i) f0 est injective ;
(ii) ker(fk) = Im(fk−1) pour tout k = 1, . . . , n − 1 ;
(iii) fn−1 est surjective.
Prouver que
Pnk
=0(−1)kak = 0.

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الحل
Exercices - Espaces vectoriels de dimension finie : corrigé
Dimension finie et sous-espaces
Exercice 1 - Pour bien démarrer...
Si c’était le cas, alors F et G seraient en somme directe, et on aurait
dim(F G) = dim(F) + dim(G) = 3 + 3 = 6.
Or, F G est un sous-espace vectoriel de R5, il est de dimension au plus 5. C’est donc impossible
!
Exercice 2 - Autour du théorème des quatre dimensions -
Tout repose sur la formule des quatre dimensions
dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F \ G)
et sur la propriété : si H est un sev de E tel que dim(H) = dim(E), alors H = E.
– Si 1. et 2. sont vraies, alors
dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F \ G) = dim(F) + dim(G)
tandis que E = F + G implique
dim(E) = dim(F) + dim(G).
3. est donc vérifié.
– Si 1. et 3. sont vraies, alors
dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F \ G) = dim(E) − 0 = dim(E).
Ainsi, F + G est un sev de E de même dimension que E : F + G = E.
– Si 2. et 3. sont vraies, alors
dim(E) = dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F \ G) = dim(E) − dim(F \ G).
On en déduit que dim(F \ G) = 0 et donc que F \ G = {0}.
Exercice 3 - Suites arithmétiques - L1/Math Sup - ??
Soit E l’ensemble des suites arithmétiques complexes. On vérifie sans difficulté que c’est un
sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites complexes, et donc que c’est un espace vectoriel.
Pour calculer sa dimension, on remarque que l’on connait parfaitement une suite arithmétique
si l’on connait son premier terme et sa raison. Ceci laisse à penser que la dimension de E est
égale à deux. Prouvons-le. Si (un) est une suite arithmétique, alors son premier terme est u0 et
sa raison est égale à u1 − u0. Considérons donc
: E ! C2
(un) 7! (u0, u1 − u0)
est clairement une application linéaire. Elle est injective : si ((un)) = 0, alors (un) est une
suite arithmétique de premier terme nul et de raison nulle, et donc un = 0 pour tout entier n.
Elle est aussi surjective : si (a, b) 2 C2, alors la suite (un) définie par un = a+nb est élément de

Exercices 3 - Espaces vectoriels de dimension finie : corrigé
E et vérifie ((un)) = (a, b). Autrement dit, est un isomorphisme d’espaces vectoriels entre
E et C2. Puisque C2 est de dimension 2, E est aussi de dimension 2.
Remarquons que l’on peut aussi trouver une base de E. Si (an) est la suite définie par an = 1
pour tout entier n, et (bn) est la suite définie par bn = n pour tout entier n, alors ces deux
suites sont éléments de E et forment une famille libre. De plus, si un est un élément de E, alors
elle peut s’écrire un = c+nd = can +dbn, et donc (un) est combinaison linéaire de (an) et (bn).
Autrement dit,

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